Vecteur normal à une droite et équation cartésienne

L'objectif de cette activité est de déterminer l'expression d'une équation cartésienne d'une droite dans le plan en connaissant les coordonnées d'un vecteur normal.

Soit  \((\text O;\vec i;\vec j)\)  un repère orthonormé du plan. On considère un vecteur  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\)  avec  \(a\)  et  \(b\)  des réels non simultanément nuls, et  `(d)` la droite passant par un point  `\text{A}(x_\text{A};y_\text{A})` de vecteur normal  \(\vec n\) . Le vecteur  \(\vec n\)  est donc orthogonal à tout vecteur directeur de la droite  \((d)\) . 

Soit  \(\text{M}(x;y)\)  un point appartenant à la droite  \((d)\) . 

1. Justifier que, quel que soit  \(\text M\) sur  \((d)\) , le produit scalaire  \(\overrightarrow{\text{AM}}\cdot \overrightarrow{n}\) est nul.

2. Donner l'expression du produit scalaire  \(\overrightarrow{\text{AM}}\cdot \overrightarrow{n}\)   en fonction de  \(x\) , \(y\) ,   \(a\) , \(b\) , \(x_A,y_A\) . 

3. Démontrer que, si \(\text{M}\in (d)\) alors il existe un unique réel  \(c\) tel que \(ax+by+c=0\) . Préciser la valeur de  \(c\) en fonction de \(a\) , \(b\) ,   \(x_A,y_A\) .

4. On a établi l'expression d'une équation cartésienne de la droite \((d)\) en fonction des coordonnées  \(a\) et  \(b\) d'un vecteur qui lui est normal.
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur \(\vec u\) de la droite  \((d)\) en fonction de \(a\) et  \(b\) . Vérifier que  \(\vec u\) et  \(\vec n\)  sont bien orthogonaux.